.mb9 .po10 .op Gesamtherstellung: veâ mikroelektronië "wilhelí pieck¢ m}hlhausen Ohnå  Genehmigunç  deó Herausgeberó isô eó nichô  gestattet¬  daó Bucè  odeò Teilå darauó nachzudruckeî odeò  auæ  fotomechanischeí Wegå zõ vervielf{ltigen. Š.pn3 .op .heAPPROXIMATION # Inhalt Inhalt Seite    Vorbemerkungen.......................................... 4 1® Einordnung.............................................. 5 2® Prinzið deò Approximation............................... 7 3® Programmbeschreibungen.................................. 10    APROFU.................................................. 11    APROTA.................................................. 13    RAPROFU................................................. 15    APROFÉ / RAPROFI........................................ 17    LEAPRO.................................................. 19    LAPRO................................................... 20    HEAPRO.................................................. 22    ORTHOFU................................................. 24 4® Beispiele............................................... 26 5® Literatur............................................... 30 .pa Š.heAPPROXIMATION # Vorbemerkungen Vorbemerkungen Deò   Einsatú  voî  Arbeitsplatzcomputerî  f}ò  wissenschaftlichå Berechnungeî isô einå effektivå M|glichkeiô deò  Rationalisierunç iî  vieleî Bereicheî deò Forschunç unä Entwicklunç sowiå iî Hoch- unä Fachschulen. Diå  vorgestelltå  Programmsammlunç "Approximation¢ isô  aló  eiî Werkzeuç f}ò dieså Einsatzf{llå gedacht. F}ò  diå Anwendunç deò BASIC-Programmå werdeî Grundkenntnisså auæ deí  Gebieô  deò  Approximation¬   Regressioî  unä  Interpolatioî vorausgesetzô (vgl® dazõ Abschnitô 5® Literaturverzeichnis). Diå  vorliegendå Magnetbandkassettå enth{lô  folgendå  Programme¬ diå Siå miô CLOAÄ "Programmname¢ einleseî m}ssen®  Allå Programmå sinä   auæ  deí  KC85/²  unä  seineî  Nachfolgetypeî  ohnå   RAM- Erweiterungsmoduì  lauff{hig®  Trageî Siå bittå diå Z{hlwerkstel lungeî deò Programmanf{ngå Ihreó Recorderó iî diå Tabellå  selbsô ein. Programmnamå   Z{hlerº  Geracorä   andereò Typ ---------------------------------------------- APROFÕ                   10 APROTÁ                   20 RAPROFÕ                  30 APROFÉ                   40 RAPROFÉ                  50 LEAPRÏ                   60 LAPRÏ                    70 HEAPRÏ                   80 ORTHOFÕ                  90 Wichtigeò Hinweisº                   Allå Programmå sinä sï aufgebaut¬  daþ beií mehrmaligeî Durchlauæ diå alteî Funktioneî erhalteî bleiben®  Beé [nderunç dieseò Wertå isô  abeò  zõ  beachten¬  daþ danî eiî  vollst{ndigeò  Neueintraç notwendiç ist. .pa Š.heAPPROXIMATION #  Einleitung 1® Einordnung Eó  gibô dreé numerischå Methoden¬  diå enç miteinandeò  verwandô sinä unä z.T® ineinandeò }bergehen:        ® Interpolation        ® Regression        ® Approximation Siå erzeugeî auó Eingangsdaten¬  z.T® unterschiedlicheò Art¬ einå speziellå Funktion¬  miô deò danî weitergearbeiteô wird®  Eó sinä beé deî Methodeî alsï voò alleí diå Eingangsdateî unä daó  Anwen dungszieì zõ unterscheiden. Beé  deò Interpolatioî (Bilä 1a© liegeî aló  Eingangsdateî  exakô angenommenå  Dateî vor®  Zõ ihneî solì einå (m|glichsô  einfache© Funktioî  gefundeî werden¬  diå genaõ durcè diå Dateî  geht®  Diå Anwendunç  deò Funktioî isô es¬  kontinuierlicè Zwischenwertå  zõ deî Punkteî zõ erhalten® Fr}heò wurdå diå Interpolatioî voò alleí beé deò Anwendunç voî Funktionstabelleî benutzt® Heutå liegô ihrå Hauptanwendunç  impliziô beé deò numerischeî Integratioî unä  ex pliziô beé deò graphischeî Datenverarbeitung. Diå  Regressioî (Bilä 1b© odeò engliscè Fiô  (Funktionsanpassung© gehô  voî fehlerbehafteteî Me~dateî auó unä  versucht¬  iî  ihneî einå passendå (einfachå odeò aucè theoretiscè vermutete© Kurvå zõ finden®  Daó  Ergebnió  sinä  danî einmaì  diå  Parameteò  dieseò Funktioî  (Parameterbestimmung©  und/odeò deò Zusammenhanç voî  Ø unä Y®  Diå Approximatioî (Bilä 1c© setzô einå bekanntå  Funktioî voraus® Siå isô iî deò Regeì jedocè zõ komplizierô (ií mathemati scheî Sinne)¬  uí miô ihò zõ arbeiten®  Eó wirä deshalâ m|glichsô einå Ersatzfunktioî (Kurvå b)¬ z.B® eiî Polynom¬ gesucht¬ diå miô vorgegebeneí  maximaleî Fehleò diå Ursprungsfunktioî  ausreichenä guô f}ò diå weiterå Anwendunç n{hert. Diå  Approximatioî  wurdå  urspr}nglicè iî  gro~eí  Umfanç  daf}ò untersucht¬  wiå  maî aí effektivsteî diå elementareî  Funktioneî auæ  Rechnerî implementiereî kann®  Hiervoî zeugeî diå umfangrei cheî  Tabellenwerkå deó Literaturverzeichnisses®  Heutå wirä  siå voò alleí danî benutzt¬  wenî miô eineí komplexeî Funktionszusam menhanç iî weitereî numerischeî Verfahreî gearbeiteô werdeî soll® Danî  leisteô  diå  Approximatioî  vorz}glichå  Dienste¬  uí  deî Rechenablauæ erheblicè zõ beschleunigen. .pa Š.pa Š.heAPPROXIMATION #  Prinzip der Approximation 2® Prinzið deò Approximation Eó  seé  einå Funktioî F(X© gegeben®  Zõ ihò werdå einå  (iî  deò Regeì einfacè numeriscè handhabbare© Funktioî F+(X© gesucht¬  diå uí  nichô  mehò aló eineî vorgegebeneî Fehleò voî F(X©  iî  eineí gegebeneî Intervalì abweicht. Diå  Abweichunç kanî auæ folgendå Arteî definierô  werden¬  wobeé deutlicè  deò  absolutå  Fehleò ií Vordergrunä  steht®  Dieó  isô besonderó  danî  zõ beachten¬  wenî F(X© Nulì odeò  eineî  gro~eî Wertebereicè durchl{uft. 1© MAØ|(F(X)-F+(X)©|    Á =¼ Ø =¼ B        B 2©  1    --­   |F(X© ­ F+(X©| dX    B-A        A                B 3©  1    --­   (F(X© ­ F+(X))2dX    B-A        A Ií  ersteî  Falì  wirä niemaló ií Intervalì  }berschritten®  Ií zweiteî Falì gilô dieó gemittelô }beò daó Intervall® Dabeé k|nneî einzelnå Punktå durchauó erheblicè abweichen. Hieò  gilô alsï daó voî Gauþ eingef}hrtå Kriterium®  Dieseî  Falì erreichô maî miô guteò N{herunç durcè diå Legendre-Polynome¬  deî ersteî Falì durcè diå Tschebyscheff-Polynome®  Beide¬ unä zus{tz licè diå Laguerre- unä Hermite-Polynome¬  sinä ohnå Anwendungsbe zuç iî deò Programmbeschreibunç ORTHOFÕ kurú erl{utert®  F}ò  De tailó seé u.a® auæ daó Bucè voî Sieber/Sebastiaî verwiesen® Einå gleichm{~igå Approximatioî liegô danî vor¬  wenî diå Fehler funktioî  ií Sinnå voî ± (etwá sinusf|rmig©  verl{uft¬  daþ  allå Maximá  unä Minimá genaõ deî gleicheî absoluteî Fehlerbetraç  an nehmen¬  siehå  Bilä 2á aló Beispiel®  Iî deò Regeì erf}llô  einå Tschebyscheff-Approximatioî  dieseî  Falì rechô gut®  Eó gibô  jå nacè  Funktioî  unä Approximatioî (beé rationaleò  iî  deò  Regeì schlechter©  jedocè Abweichungeî hiervon®  Diå Maximá unä  Minimá sinä  danî unterschiedlicè hoch®  Dieó l{~ô sicè durcè  Verlagerî deò  Bezugspunktå  (Nullstelleî  deò  Fehlerfunktion©  vermeiden® Derartigå  Programmå sinä jedocè sehò aufwendig¬  sï daþ hieò auæ siå  verzichteô wurde®  Eó liegeî deshalâ bestenfalló  n{herungs weiså gleichm{~igå Approximationeî miô deî ersteî f}næ Programmeî vor® Diå  Legendre-Approximatioî  gilô ií  quadratischeî  Mittel®  Siå f}hrô fasô immeò zõ eineí Fehlerverlauæ voî Bilä 2b® Deò maximalå Fehleò  wirä  aî deî Intervallendeî  angenommen®  Zuò  Mittå  hiî werdeî diå Maximá unä diå Minimá flacher® Dieså Approximatioî isô vorteilhaft¬  wenî  z.B®  }beò quadratischå Funktioneî (wiå  z.B® Leistung© approximierô werdeî soll® Siå haô au~erdeí danî Vortei le¬ wenî iî deò Mittå deó Intervalló deò Funktionswerô kleiî odeò gaò Nulì wird. .pa Š.pa ŠDamiô isô aucè zugleicè deò relativå Fehleò voî Bedeutung® Prim{ò lieferî  allå Approximationeî eineî maximaleî  absoluteî  Fehler® Eiî relativeò Fehleò isô abeò ofô notwendig¬ besonderó dann¬ wenî Gleitkommazahleî  iî eineí gro~eî Wertebereicè angenommeî werden® Danî  kanî auch¬  soferî dabeé nichô Nulì auftritt¬  F(X)/Ø  nacè Tschebyschefæ approximierô werden. Zuweileî sinä aucè Approximationeî iî uneigentlicheî  Intervalleî notwendig®  Hierbeé  sinä diå Laguerre- unä Hermite-Polynomå vor teilhaft® Siå habeî jedocè zweé wesentlichå Nachteile: ® Eó existierô keinå deò o.g® Fehlernormen. ® Siå verlangeî eineî exponentielleî Faktoò iî deò Funktion. Auæ  dieså  Problemå wirä n{heò  beé  deî  Programmbeschreibungeî LAPRÏ unä HEAPRÏ eingegangen. Miô  deî vorliegendeî Programmeî k|nneî allå wichtigeî Approxima tioneî  guô bió befriedigenä gel|sô werden®  Diå  Programmå  sinä sehò  rechenaufwendig¬  ben|tigeî  daheò  Zeit®  Diå  Algorithmeî mu~teî z.T® f}ò diå begrenztå Speicherkapazit{ô v|lliç neõ formu lierô  bzw®  sogaò entwickelô werden®  Eó sinä andererseitó nichô allå iî deò Literatuò gegebeneî M|glichkeiteî ausgenutzô  worden® Sï  gibô eó z.B®  beé deî rationaleî Approximationeî aucè solche¬ beé  deneî daó Verh{ltnió deò Exponenteî voî Z{hler- unä  Nenner polynoí st{rkeò abweichô unä sï einå besserå Optimierunç  m|glicè ist®   F}ò  dieså  unä  {hnlichå  F{llå  seé  auæ  diå  Literatuò verwiesen. .pa Š.heAPPROXIMATION #  Programmbeschreibungen 3® Programmbeschreibungen Ií  folgendeî werdeî diå Programmå iî dieseò Einteilunç beschrie ben:       ® Name       ® Zweck       ® Wirkungsweise       ® Bedienung       ® Probleme Zuweileî sinä f}ò eiî Programí spezifischå Abschnittå  zus{tzlicè eingef}gt. Dá  dieså  Einteilunç bewu~ô konsequenô eingehalteî  wurde¬  sinä Wiederholungeî nichô vermeidbar®  Siå habeî abeò deî Vorteil¬ daþ jedå  Beschreibunç - voî selteneî Verweiseî abgeseheî - f}ò  sicè alleiî  genutzô  werdeî kann®  Einå Ausnahmå  hiervoî  machô  diå Beschreibunç  ORTHOFU¬  iî  deò  zugleicè einigå  Grundlageî  deò Orthogonalfunktioî unä deò Approximatioî enthalteî sind. Deò  Inhalô deò Kassettå isô ganú zõ Beginî deò Brosch}rå  zusam mengestellt®   Dorô  k|nneî  Siå  aucè  diå  Z{hlwerknummerî  voí Programmbeginî ihreó Kassettenrecorderó eintragen. .pa Š.heAPPROXIMATION #  APROFU APROFU Zweck ----- Daó  Programí  erzeugô  zõ  eineò  Funktioî  einå  n{herungsweiså gleichm{~igå Approximation. Wirkungsweise ------------- Diå zõ approximierendå Funktioî isô miô deí Intervall¬ iî deí diå Approximatioî g}ltiç seiî soll¬  einzugeben®  Daó Intervalì  wirä auæ  deî  Bereicè  (-1,1© transformiert, danî wirä  diå  Funktioî mitteló  Tschebyscheff-Polynomå  ge{ndert®  Diå maximalå  Ordnunç legô einmaì diå Laufzeiô (jå h|heò destï l{nger© unä diå  maximaì erreichbarå Genauigkeiô (jå h|heò destï genauer© fest® Nacè eineò Rechnunç  werdeî diå Tschebyscheff-Koeffizienteî  angezeigt®  Siå stelleî  miô fallendeò Gr|~å zugleicè diå erreichbarå Genauigkeiô dar® Isô z.B® Nr.µ gleicè 1,34E-5¬ sï wirä miô guteò N{herunç miô deí  Polynoí  bió einschlie~licè Nr.´ eiî  absoluteò  Fehleò  voî +1,34E-µ  eingehalten® Solì dieseò Fehleò benutzô werden¬  sï isô deò Werô ´ f}ò diå Potenzreihå einzugeben®  Dá beé  symmetrischeî Funktioneî jedeò zweitå Werô ca®  Nulì ist¬  wirä automatiscè daó }bern{chstå Glieä abgetestet. Achtung¡  Diå  Numerië  voî  BASIà l{~ô keinå  h|hereî  relativeî Genauigkeiteî aló ca® 10-7” zu. Eó  folgô  diå Umrechnunç deò Tschebyscheff-Polynomå  iî  Potenz reihen®  Siå werdeî danî voí Intervalì (-1,1© auæ daó eingegebenå Intervalì transformiert®  Eó folgô diå Anzeigå deò  Koeffizienteî deò  Potenzreihe®  Siå sinä danî ií eingegebeneî Intervalì direkô f}ò  diå Approximatioî deò eingegebeneî Funktioî  verwendbar®  Uí hierbeé  einå h|herå Sicherheiô zõ haben¬  isô deò  Fehlerverlauæ voî Bedeutung¬  denî diå Tschebyscheff-Approximatioî lieferô  nuò iî ersteò N{herunç einå gleichm{~igå Approximation. F}ò diå graphischå Darstellunç deó Fehlerverlaufó gilt: ‰‰Y(X© ½ F+(X© ­ F(X), wobeé  F+(X©  diå approximierendå Funktioî ist®  Diå dreé  waage rechteî  Linieî  bedeuteî  dabeé Fehleò Nulì sowiå  positivå  unä negativå Fehlergrenzån gem{þ Tschebyscheff-Fehlerglieä. Daó  Programí  l{~ô weiteò Modifikationeî deò  Rechnunç  zu®  Daó entsprechendå Mený erscheinô unteî auæ deí Bildschirm. Beé Wiederholunç voî Teilabl{ufeî k|nneî diå notwendigeî Eingabeî miô  nuò "ENTER¢ }bergangeî werden¬  wenî keinå [nderunç erfolgeî soll®  Solì nuò diå Fehlergr|~å ver{nderô werdeî (Eingabå Potenz reihe)¬ sï bleibeî allå Tschebyscheff-Koeffizienteî volì g}ltig. .pa Š.heAPPROXIMATION #  APROFU Bedienung --------- ® Einleseî deó Programmó miô CLOAÄ "APROFU" . RUN ® Eingabå deò Funktion ® Eingabå deò Grenzeî deó Intervalls ® Eingabå deò maximaì zõ erwartendeî Tschebyscheff-Ordnung ® Anzeigå deò Tschebyscheff-Koeffizienten ® Auswahì deó Fehleró unä Eingabå deò uí ± niedrigereî Ordnung   f}ò diå Potenzreihe ® Anzeigå deò Koeffizienteî deò Potenzreihe ® Men}auswahì f}ò Fortsetzung ® Graphischå Darstellunç deó Fehlerverlaufs Probleme -------- ® Diå  Approximatioî  isô nuò iî ersteò  N{herunç  gleichm{~ig¬ daheò Fehlerfunktioî beachten. ® Deò  Rechneò  l{~ô nuò relativå Fehleò bió etwá 10-7”  zõ  (6-stelligå Mantisse). ® Diå Approximatioî erfolgô ií absoluteî Fehler. ® F}ò relativeî Fehleò kanî F(X)/Ø approximierô werden¬ solangå nichô X=° ií Intervalì vorkommt. .pa Š.heAPPROXIMATION #  APROTA APROTA Zweck ----- Daó  Programí  realisierô  diå  Tschebyscheff-\konomisatioî   voî Taylorreihen¬  entwickelô alsï auó ihneî einå Potenzreihå minima leò Ordnunç beé vorgegebeneí Fehler. Wirkungsweise ------------- Ií  Programí wirä voî deî Koeffizienteî deò Taylorreihå bió maxi maì 20®  Ordnunç ausgegangen® Diå Koeffizienteî k|nneî eingegebeî werden® Siå k|nneî aucè ií Taschenrechnermoduó (Direktmodus© odeò miô eineò Programmzeilå erzeugô werdeî (s®  Abschnitô  Erg{nzen)® Siå werdeî stetó ií Felä auæ gr}neí Grunä angezeigô unä sinä dorô beé Wiederholungeî ver{nderbar. Solì keinå [nderunç erfolgen¬  einfacè "ENTER¢ bet{tigen®  Danacè sind daó zõ approximierendå Intervalì ("von","bis"© unä deò maxi maì zul{ssigå Fehleò einzugeben. Zun{chsô  wirä diå durcè diå Koeffizienteî  gegebenå  Taylorreihå auæ  daó Intervalì (0,  XR-XL© umgerechnet®  Danî erfolgô diå Um wandlunç  iî Tschebyscheff-Polynome¬  beií  h|chsteî  Reihenglieä beginnend®  Diå Ordnunç wirä schrittweiså sï langå reduziert¬ bió daó  Tschebyscheff-Restglieä  diå gew}nschtå  Genauigkeiô  geradå nocè  einh{lt®  Danî  erfolgô ií t}rkiseî Felä  diå  Anzeigå  deò g}ltigeî   Polynomordnung¬   darunteò  Polynomkoeffizienteî  und schlie~licè ií graueî Felä deò maximaì absolutå Fehler. ]beò  Mený  kann danacè diå Fehlerkurvå  graphiscè  dargestellô bzw®  miô deò Eingabå f}ò diå Koeffizienteî (odeò dereî [nderung© odeò eineó andereî Fehleró wiedeò begonneî werden®  F}ò diå  gra phischå Darstellunç deó Fehlerverlaufó wirä deò Ausdruck ‰‰Y(X© ½ F+(X© ­ F(X) ausgewertet¬ wobeé F+(X© diå Tschebyscheff-\konomisatioî unä F(X© diå  Taylorreihå sind®  Diå dreé waagerechteî Linieî bedeuteî da beiº  positiveò unä negativeò Werô deó berechneteî  Fehlers¬  unä diå Mittå entsprichô deí Fehleò Null. Erg{nzungen ----------- Diå Eingabå voî Taylorkoeffizienteî kanî u.a® wiå folgô gescheheî (Beispieì siehå Abschnitô 4.):       M=6:A(0)=1:FORI=1TOM:A(I)=A(I-1):NEXT Hierbeé werdeî diå Koeffizienteî +1/n¡  erzeugt. Í erscheinô sp{teò aló Ordnung®  Diå A(I© sinä diå Koeffizienten® Ií Programí sinä diå Zeileî 80¬ 9° unä 10° durcè diå obenstehendå BASIC-Zeilå zõ ersetzen® .pa ŠBedienung --------- ® Einleseî deó Programmó miô CLOAÄ "APROTA" ® M|glichkeiô  deò  Erzeugunç  deò Koeffizienteî  gem{þ  deò  Erg{nzung ® Run ® Eingabå deò Ordnung ® Eingabå deò Koeffizienten . Eingabe des Intervalls ® Eingabå deó geforderteî maximaleî Fehleró ® Anzeigå deò Parameteò deó |konomisierteî Polynoms     ­ Ordnung     ­ Koeffizienten     ­ maximaì zõ erwartendeò Fehler ® Auswahì deó weitereî Betriebes     ­ Anzeigå deò Fehlerfunktion     ­ Beginî beé Eingabå deò Ordnung     ­ Beginî beé Eingabå deò Taylorkoeffizienten Probleme -------- ® Diå Tschebyscheff-Approximatioî isô nuò iî sehò guteò N{herung   gleichm{~ig. ® Deò relativå Fehleò ií Rechneò unterschreiteô nichô 10-7   (6-stelligå Mantisse). ® Deò Approximationsfehleò isô eiî absoluteò Fehler. .pa Š.heAPPROXIMATION # RAPROFU RAPROFU Zweck ----- Daó  Programí approximierô n{herungsweiså gleichm{~iç einå  Funk tioî  durcè  einå rationalå Funktioî (Quotienô auó  zweé  Potenz reihen). Wirkungsweise ------------- Auó  deò eingegebeneî Funktioî werdeî iî deí vorgegebeneî  Inter valì Punktå gem{þ eineò Tschebyscheff-Teilunç erzeugt® Diå Anzahì deò  Punktå  isô durcè diå gew}nschteî Gradå deó Z{hleró (Z©  unä deó Nenneró (N© bestimmt® Dabeé gilt ‰‰N-± =¼ Ú =¼ N. Eingegebeî  wirä N+Z¬  alsï f}ò eineî Z{hleò bió X3” unä f}ò eineî Nenneò bió X2” deò Werô 5® Voî deî ausgew{hlteî Punkteî wirä einå Interpolationsfunktioî  iî Kettenbruchforí entwickelt®  Siå  wirä danî iî diå rationalå Funktioî umgerechnet® Diå Koeffizienteî f}ò Z{hleò unä Nenneò werdeî getrennô angezeigt. Deò  maximaì zõ erwartendå Fehleò Æ wirä aló Maximuí deó  Fehleró aî deî beideî Intervallendeî gebildet¬ angezeigô unä zuò sp{tereî graphischeî Darstellunç verwendet. Beé  deò rationaleî Interpolatioî treteî leichô Abweichungeî  voî eineò  gleichm{~igeî  Approximatioî auf®  Hieò isô  folglicè  diå Fehlerkurvå  besonderó wichtig®  Siå wirä miô Linieî beé  -F,0,+Æ dargestellô  unä gestatteô daó Ergebnió einzusch{tzen®  Nacè  deò Darstellunç  werdeî weiteò deò wirklicè gr|~tå positivå  unä  deò kleinstå  negativå Fehleò iî Zahleî angezeigt®  Hierdurcè  k|nneî effektiverå Darstellungeî erreichô werden. F}ò daó Vorzeicheî deó Fehleró gilt ‰‰Y(X)=F+(X)-F(X), wobeé F+(X© diå rationalå Funktioî unä F(X© diå Ursprungsfunktioî sind. Beé  deò Weiterrechnunç miô ver{nderteî Parameterî braucheî diå nichô zõ {nderndeî nuò miô "ENTER¢ best{tigô werden. Bedienung --------- ® Einleseî deó Programmó miô CLOAÄ "RAPROFU" ® RUN ® Eingabå deò Funktion ® Eingabå deó Intervalls ® Eingabå deò maximaleî Ordnunç (Potenú voí Z{hleò « Potenz   voí Nenner) ® Anzeigå deò Koeffizienten ® Anzeigå deó etwá zõ erwartendeî Fehlers¬ deò sp{teò in   deò Fehlerkurvå aló Geradå verwendeô wird ® R}ckkehò zuí Beginî deò graphischeî Darstellung ® Darstellunç deò Fehlerkurvå unä Anzeigå deó maximalen   positiveî unä maximaleî negativeî Fehlers ® R}ckkehò zuí Starô (Eingabå deò Funktion) Solleî beé deò Wiederholunç Wertå nichô ge{nderô werden¬  sï  isô nuò "ENTER¢ zõ bet{tigen. .pa  ŠProbleme -------- ® Rationalå Funktioneî k|nneî unerwartetå Polå besitzen¬ dann   wirä deò Fehleò unendlicè gro~. ® Rationalå  Funktioneî  k|nneî voî deò gleichm{~igeî  Approxi matioî abweichen.  Deshalâ isô eó wichtig¬ diå Fehlerfunktioî zõ kennen. ® Eó wirä nuò deò absolutå Fehleò berechnet®  Solì deò relativå Fehleò gelten¬ sï isô F(X)/Ø beé Eingabå zõ w{hlen.   (Bedingungº X=0) ® Deò Rechneò besitzô eineî relativeî Fehleò voî ca® 10-7 (6-stelligå Mantisse)¬ daheò sinä kleinerå absolutå Fehler   nichô m|glich! .pa Š.heAPPROXIMATION # APROFI / RAPROFI APROFÉ / RAPROFI Zweck ----- Diå Programmå dieneî zuò Approximatioî voî indirekô odeò iteratiö definierteî  Funktioneî durcè Polynomå  (APROFI©  bzw®  rationalå Polynomå (RAPROFI). Wirkungsweise ------------- Beidå  Programmå  entsprecheî,  bió auæ diå Funktionseingabå, deî Programmeî APROFÕ bzw® RAPROFÕ (siehå dort). Diå Funktionseingabå isô beé beideî Programmeî weitauó komplexeò, abeò  aucè  komplizierter®  Dadurcè sinä universelleò  definiertå Funktioneî anwendbar® Deò Ablauæ isô dabeé wiå folgt: Voò  deí Programmablauæ sinä zus{tzlicè speziellå Zeileî  eingeb bar¬  diå sp{teò ersô wirksaí werden®  Eó sinä daf}ò zweé Zeilen bereichå reserviert. 1© Zeilenbereicè 2° ­ 29    ---------------------    Hieò kanî einå Funktioî miô deî obigeî Konstanteî definiert    werden® Eingangsgr|~å isô X¬ daó Ergebnió muþ aló Ù bereitge-    stellô  werden®  Dieseò Bereicè wirä st{ndiç aló Unterfunktioî    beé Zeilå 2° aufgerufeî unä isô daheò miô RETURÎ abzu-    schlie~en. 2© Zeilenbereicè 3° bió 39    -----------------------    Hieò kanî eiî Arraù Z(...© definierô werden.    Dieseò Bereicè wirä nuò einmaì beií Starô durchlaufeî unä kanî    aucè entfallen. 3© Konstanteî unä Variablen    ------------------------    Eó sinä allå zweistelligeî Variableî freé verf}gbar¬ alsï z.B. A0¬  BF¬ CÑ usw® Diå zweistelligeî reservierten BASIC-W|rter¬ wiå PI¬ AT¬ OÎ usw. , d}rfen jedoch nicht verwendet werden. Beispiel -------- Eó solì diå Funktion ‰‰  ±    ±     ±    Ø    X2         X6 ‰ Y= -­ « --Ø « -­ « -­ « -­ « ..® « -­ « LN(X) ‰‰  X2   2¡    3¡   4¡   5¡         9! approximierô werden® Danî sinä zuersô diå Konstanteî im Zeilenbereicè 30-3¹ zõ erzeugen:    3° DIÍ Z(8):Z(0)=1    3± FOÒ A0=1TO8    3² Z(A0)=Z(A0-1)/(A0+1)    3³ NEXT .pa ŠDiå Funktioî wirä gem{þ Hornerschemá iteratiö erzeugt:    2° Y=1    2± FOÒ A0=8TO± STEP-1    2² Y=Y*Z(A0)*X+Z(A0-1)    2³ NEXT    2´ Y=Y/X/X+LN(X)    2µ RETURN Eó  k|nneî nat}rlicè aucè mehrerå Befehlå auæ einå  Zeile¬  durcè Doppelpunkô getrennt¬ gebrachô werden® Diå hieò gew{hltå Schreib weiså  solltå  besonderó }bersichtlicè sein®  Stetó isô abeò  miô Zeilå 2° bzw® 3° zõ beginnen¬ dá dieså beideî Zeileî voí Programí angesprungeî werden®  Insoferî isô eó sinnvoll¬  wenî deò Bereicè 30-3¹  nichô verwendeô werdeî solì bzw®  wenî  mehrfacè  ge{nderô wird¬  wiå  folgô zõ verfahrenº  Allå eventuelì schoî verwendeteî Zeileî 31-3¹ l|scheî unä 3° REÍ einsetzen® Ií Bereicè 2° isô dieó nichô sï kritisch¬ wenî Zeilenabst{ndå ± verwendeô werdeî unä diå letztå Zeilå miô RETURÎ abschlie~t. Bedienung --------- ® Einleseî der Programme miô CLOAÄ "APROFI¢ bzw® CLOAÄ "RAPROFI" ® Definiereî deò Funktioî Y=F(X© miô Startzeilå 2° unä  Verwen dunç  deò Zeileî bió 29¬  Abschlie~eî deò  Funktionsdefinitioî mit RETURN ® Definitioî voî Konstanteî miô Startzeilå 3° bió 3¹ m|glich ® RUN ® Weiteò wiå beé APROFÕ bzw® RAPROFU Probleme -------- ® Vorsichô beé Definitioî deò Funktioî unä Konstanteî (eventuelì vorheò eingebeî unä Programí testen). ® Sonsô wiå beé APROFÕ bzw® RAPROFU   .pa Š.heAPPROXIMATION #  LEAPRO LEAPRO Zweck ----- Daó  Programí  erzeugô  zõ eineò Funktioî eiî  Polynom¬  daó  beé vorgegebeneò  Ordnunç  diå minimalå quadratischå  Abweichunç  be sitzt. Wirkungsweise ------------- Diå  zõ approximierendå Funktioî wirä miô deí gew}nschteî  Inter valì  zuò Approximatioî eingegeben®  Durcè Faltunç miô deî Legen dre-Polynomeî bió zuò Ordnunç 1µ entsteheî diå Koeffizienteî  deò approximierendeî Legendre-Reihe® Diå Gr|~å deó jeweiligeî Koeffi zienteî zeigô deî geradå aî deî Intervallendeî auftretendeî maxi maleî  absoluteî Fehleò an®  Durcè Auswahì deò  darunterliegendeî Ordnunç wirä dieseò Fehleò ausgew{hlô (vgl® APROFU). Daó  Progamí  addierô diå entsprechendeî Legendre-Termå nacè  Um rechnunç zõ eineò Potenzreihå ií Intervalì (-1,+1)®  Anschlie~enä werdeî diå Potenzreihå auæ daó Ursprungsintervalì umgerechneô unä diå Koeffizienteî angezeigt. Ií weitereî Verlauæ k|nneî Funktion¬  Intervall¬  Ordnungeî  usw® ge{nderô werden. Eó  kanî abeò aucè diå Fehlerkurvå dargestellô werden®  Siå  wirä durcè  diå maximaleî Wertå aî deî Grenzeî unä Nulì begrenzt®  F}ò deî Fehleò gilt ‰‰Y(X)=F+(X)-F(X), wobeé  F+(X© diå Potenzreihå unä F(X© diå urspr}nglichå  Funktioî darstellen. Eingaben¬  diå  beé weitereí Durchlauæ nichô ge{nderô werdeî sol len¬ k|nneî nuò miô "ENTER¢ }bergangeî werden. Bedienung --------- ® Einleseî deó Programmó miô CLOAÄ "LEAPRO" ® RUN ® Eingabå deò Funktion ® Eingabå deò Intervallgrenzen ® Anzeigå deò Legendre-Koeffizienten ® Fehlerauswahì  }beò  Ordnunç f}ò diå  Potenzreihå  (Wirä   diå Ordnunç Î eingegeben¬ sï tritô eiî maximaleò absoluteò Fehler entsprechenä  deò  Summå deò nichô ber}cksichtigteî  Legendre- Koeffizienteî auf.) ® Anzeigå deò Koeffizienteî deò Potenzreihe ® Mený f}ò Weiterarbeit      1© zur}cë zuò Funktionseingabe      2© Anzeigå deò Fehlerkurve         Probleme -------- ® Daó Programí isô rechenintensiv¬ ben|tigô alsï Zeit. ® Diå Approximatioî haô ií Mitteì diå quadratiscè kleinste   Abweichung. ® Deò Fehleò isô absolut» f}ò relativå Fehleò F(X)/Ø eingeben   (X=0). ® Deò relativå Fehleò deó Kà 8µ liegô infolgå 6-stelligeò  Man tisse  beé ca® 10-7. .pa  Š.heAPPROXIMATION # LAPRO LAPRO Zweck ----- Daó  Programí  dienô zuò Approximatioî voî Funktioneî voî  Á  bió unendlich. Wirkungsweise ------------- Diå  zõ  approximierendå Funktioî muþ f}ò Ø -¾ sehò steiì ihreí Betraç  nacè abnehmen®  Dieó isô u®  a®  f}ò Funktioneî miô eineí Faktoò EXP(-X© odeò a-X” erf}llt® Wegeî deò h{ufigeî Anwendunç deó exponentielleî  Faktoró sinä zweé F{llå f}ò diå Approximatioî  zõ unterscheiden: ‰‰a© F1(X)=F(X)*EXP(-X©    und ‰‰b© F0(X)=F(X) Iî  beideî  F{lleî wirä nuò F(X©  eingegeben®  Diå  Approximatioî erfolgô jedocè jeweiló f}ò F1(X© bzw®  F0(X)®  Dieó bedeutet¬ daþ deò Rechneò ií Falì a© deî exponentielleî Faktoò erg{nzt. Diå  Approximatioî  erfolgô voî eineí Startwerô Á bió  ® Hierzõ werdeî  diå  Laguerre-Polynomå  verwendet®   Miô  deò  15-Punkte- Laguerre-Integratioî  unä Laguerre-Polynomeî (s®  ORTHOFU©  LN(X© erfolgô diå Berechnunç deò Laguerre-Koeffizieîten gem{~ ‰ ÁN ½  F0,1(X© LN(X© dØ ‰‰   A Diå  Koeffizienteî A0– bió A15– werdeî anschlie~enä angezeigt®  Auó ihreò  Gr|~å kanî infolgå deó exponentielleî Faktoró nuò  bedingô auæ deî Fehlerverlauæ geschlosseî werden®  Dabeé isô zõ beachten¬ daþ iî Abh{ngigkeiô von ‰‰X=XM,0+A diå letztå Nullstellå f}ò deî Fehleò durchlaufeî wird® Auó dieseí Grundå isô deò Zusammenhanç voî gew{hlteî maximaleî Koeffizienteî deò  Potenzreihå Í unä deò Nullstellå deò Laguerre-Polynomå  XM,0– wichtig® Gerundeô gilt: Í    ²   ³   ´   µ   ¶   ·   ¸   ¹   1°   1±   1²   1³   1´  15 ---------------------------------------------------------------- XM,0 3.µ 6.³ 9.µ 1³  1µ  2°  2³  2¶  3°   3´   3·   4°   4³   48 Sp{testenó nacè dieseò Nullstellå +A¬  zuweileî abeò aucè  erheb licè fr}her¬ nimmô deò Fehleò deò Approximatioî f}ò gr|~erå Wertå sehò schnelì ab. .pa ŠNacè  Anzeigå  deò  Koeffizienteî isô iî dieseí Sinnå  unteò  Be achtunç deò Gr|~å deò Laguerre-Koeffizienteî einå Ordnunç Í miô ± ¼ Í ¼ 1µ f}ò diå Umrechnunç iî eiî normaleó Polynoí einzugeben® Danî  werdeî diå Faktoreî BI– dieseò  Potenzreihå  angezeigt®  Miô ihneî gilô f}r diå approximierendå Funktioî                        M        F+(X)=EXP(-X© ¨     BI XI )                       I=0 Diå Fehlerkurvå kanî danî gem{~ ‰‰a© Y(X)=F+(X)-F(X)*EXP(-X©   bzw. ‰‰b© Y(X)=F+(X)-F(X) iî  eineí  ausw{hlbareî  Intervalì voî Xmin–  bió  Xmax–  angezeigô werden. Damiô diå Fehlerkurvå auswertbaò dargestellô werdeî kann¬ isô eiî gesch{tzteò positiveò Fehleò f}ò diå Kurvå einzugeben®  Dá eò nuò schweò  vorgebbaò ist¬  werdeî ií Anschluþ aî diå graphischå Dar stellunç daó ermitteltå Maximuí unä Minimuí angezeigt®  Hierdurcè kanî  diå  Fehlerkurvå iî verschiedeneî  Durchl{ufeî  bestm|glicè dargestellô werden®  F}ò diå Weiterrechnunç kann danî einå neuå Funktioî  bzw®  eiî neueò maximaleò Exponenô f}ò diå  Potenzreihå verwendeô werden. Bedienung --------- ® Einleseî deó Programmó miô CLOAÄ "LAPRO" ® RUN ® Wahl¬ oâ miô odeò ohnå exponentielleí Anteil ® Eingabå deò untereî Grenze ® Anzeigå deò Laguerre-Koeffizienten ® Auswahì eineó Í f}ò diå Potenzreihe ® Anzeigå deò Koeffizienteî deò Potenzreihe ® Men}auswahl   ­ R}ckkehò zuò Funktionseingabe   ­ R}ckkehò zuò Wahì deó M   ­ Anzeigå deò Fehlerfunktion ® Beé deî Fehlerfunktioneî Eingabå deò erwarteteî Fehlergrenzen   f}ò diå Geradeî unä deó darzustellendeî Intervalls ® Graphischå Darstellunç deò Fehlerkurvå miô Anzeigå deò realen   Fehlergrenzeî ií Intervalì unä R}ckkehò zuí Men} ® Beé Eingabeî iî deò Wiederholunç k|nneî allå nichô zõ {ndern den Wertå miô nuò "ENTER¢ }bergebeî werden. Probleme -------- ® Deò exponentiellå Faktoò isô beé deò Approximatioî zõ  beach ten, dá deò bereitó ií Programí enthalteî ist. ® Falló einå Funktioî ohnå exponentielleî Faktoò verwendeô wird,   muþ sie¬ damiô diå Integratioî m|glicè ist¬ steileò als   miô 1/XN f}ò Ø -¾    nacè F(X© -¾ ° konvergieren. .pa Š.heAPPROXIMATION #  HEAPRO HEAPRO Zweck ----- Daó  Programí  dienô  zuò Approximatioî voî  Funktioneî  miô  deí Faktoò EXP(-X2© ií Bereicè voî - bió « . Wirkungsweise ------------- Eó  muþ einå Funktioî F(X© miô quadratiscè exponentielleí  Faktoò verwendeô werden¬ alsï allgemein: ‰‰F(X)=EXP(-X2)*F*(X). Dá  ií  Programí bereitó deò exponentiellå Anteiì enthalteî  ist¬ wirä nuò deò Teiì F*(X© eingegeben® F(X© wirä danî ií Bereich voî - bió « approximiert®  Hierzõ werdeî diå Hermite-Polynomå  (siehå ORTHOFU© verwendet® Diå Hermite-Koeffizienteî werdeî gem{~            + ÁN ½    F(X)HN(X)dX           - bestimmt®  Diå  Integratioî  erfolgô miô deò  15-Punktå- Hermite- Integration¬  sï  daþ  nacè eineò Rechnunç diå  Koeffizienteî  A0– bis A15– angezeigô werden® Infolgå deó exponentielleî Faktoró kanî nuò  bedingô auæ deî Fehlerverlauæ deò  Approximatioî geschlosseî werden® Deò wirklichå Fehlerverlauæ muþ berechneô werden® Wichtiç isô  eó dabei¬  diå letztå Nullstellå XN,0– deó Fehlerverlaufó  iî Abh{ngigkeiô voî eineí auszuw{hlendeî Î zõ wissen® Eó giltº Π     ²    ³    ´    µ    ¶    ·    ¸    ¹   1°   1±   1² ----------------------------------------------------------- XN,0 +0.· +1.² +1.· +2.° +2.´ +2.· +3.° +3.² +3.´ +3.¶ +3.9 Π    1³   1´   1µ ------------------- XN,0 +4.² +4.³ +4.5 Nacè  deò  Auswahì deó maximaleî Werteó voî Î miô ± =¼  Í  =¼  1µ werdeî  diå Hermite-Approximationeî iî normalå Potenzreiheî umge rechnet. Dabeé gilô dann ‰‰                         N ‰‰F(X©  F+(X© ½ EXP(-X 2)*¨    BI XI ). ‰‰                        I=0 Diå Fehlerkurvå kanî danî gem{þ ‰‰Y(X)=F+(X)-F(X) iî eineí ausw{hlbareî Intervalì voî -XM– bió +XM– dargestellô wer- den®  Weiteò  muþ eiî zõ erwartendeò Fehlerwerô f}ò  diå  Y-Achså eingegebeî werden®  Er isô jedocè zuweileî nuò durcè wiederholteó Probiereî richtiç zõ finden. .pa  ŠF}ò  diå Weiterrechnunç kanî bereitó voò Darstellunç deò  Fehler kurvå zwischeî vieò Modé ausgew{hlô werden: ® Fortsetzunç beé deò Funktionseingabe ® Fortsetzunç beé neueò Wahì deó maximaleî Exponenteî der Po-    tenzreihe ® Fehlerkurvå darstellen ® Sonderfehlerkurvå (siehå n{chsteò Abschnitt). Nichô zõ ver{nderndå Wertå k|nneî einfacè miô "ENTER¢ }bergangen werden. Sonderfall ---------- Ií Prinzið isô eó aucè m|glich¬ diå Funktion ‰‰      N ‰‰F(X)½    BIXI I=0 zuò  Approximatioî zõ verwenden®  Hierbeé bestehô - voî  selteneî F{lleî  abgeseheî - abeò daó Probleí deò Konvergenú f}ò « ® Diå gilô  nuò dann¬  wenî F(X© f}ò gro~å positivå unä gro~å  negativå Wertå  miô eineò konstanteî Potenú konvergiert®  Danî  isô  dieså Potenú beé deò Wahì deó Exponenteî f}ò diå Potenzreihå zõ w{hlen® Dabeé  isô eó vorteilhaft¬  deî relativeî Fehleò f}ò diå  Fehler funktioî zõ w{hlen:               N                   BIXI              I=0      Ù (X)= ---------­ -1 ,                  F(X) denî nuò eò isô f}ò Ø -¾    sinnvoll. Bedienung --------- ® Einleseî deó Programmó miô CLOAÄ "HEAPRO" ® RUN ® Eingabå deò Funktioî (ohnå quadratiscè exponentielleî Teil) ® Anzeigå deò Hermite-Koeffizienten ® Auswahì deó Exponenteî f}ò diå Potenzreihe ® Anzeigå deò Koeffizienteî deò Potenzreihe ® Men}-Auswahl:     ­ R}ckkehò zuò Funktionseingabe     ­ R}ckkehò zuò Eingabå deó Exponenten     ­ Anzeigå deò Fehlerfunktion ® Beé der Darstellung deò Fehlerfunktioî sinä einzugebeî:     ­ Fehlergrenzeî zuò Kennzeichnunç durcè Geraden     ­ Obergrenzen.   Probleme -------- ® Daó Programí isô rechenintensiv¬ ben|tigô alsï Zeit. ® Deò quadratiscè exponentiellå Faktoò isô bereitó ií Programm   enthalten¬ muþ abeò beé Anwendunç deò Koeffizienteî au~erhalb   deó Programmó beachteô werden. .pa Š.heAPPROXIMATION # ORTHOFU ORTHOFU Zweck ----- Daó  Programí  erm|glicht¬  diå wesentlicheî  Eigenschafteî  der Orthogonalfunktioneî zõ berechneî unä graphiscè darzustellen. Wirkungsweise ------------- Eó sinä folgendå Orthogonalfunktioneî enthalten:   ® Tschebyscheff-Polynomå miô -± =¼ Ø =¼ ±  (TN)   ® Legendre-Polynomå      miô -± =¼ Ø =¼ ±  (PN)   ® Laguerre-Polynomå      miô  ° =¼ Ø  ¼    (LN)   ® Hermite-Polynomå       miô ­   ¼ Ø  ¼    (HN). Siå lasseî sicè allå iî deò Form: ‰ QN(X)= A0+A1X+A2X2+...+ANXN darstellen¬  wobeé  Î  diå jeweiligå Ordnunç (Grad© deò  Funktioî ist®  Diå Koeffizienteî h{ngeî voî deò Ordnunç unä voí Polynomtyð ab®  Diå Funktioneî hei~eî Orthogonalfunktionen¬  weiì iî deî je weiló obeî definierteî Intervalleî gilt: QN*QMdX=°    f}ò Î ½ M Intervall Hierdurcè  isô  eó m|glicè ({hnlicè wiå beé  deò  Fourieranalyse¬ jedocè  bereitó  ií Reellen)¬  einå beliebigå Funktioî  F(X©  miô steigendeî  Î  immeò  genaueò durcè diå  Orthogonalfunktioneî  zõ approximieren® Hierbeé gilô z.B.: ‰ AM½    F(X© QM(X)dX       Intervall F}ò diå Approximatioî gilô dann                K ‰ F(X)½      AMQM(X)               M=0 Dieså Eigenschafô wirä beé deî einzelneî Approximationsprogrammeî genutzt®  Miô steigendeî Ë w{chsô diå Genauigkeit¬ unä deò Faktoò AK+1 isô eiî Maþ f}ò deî absoluteî Fehler. Auó deò obigeî Summå l{~ô sicè wiederuí einå normalå  Potenzreihå bilden® Hierf}ò isô deò Zusammenhang    ‰ XM=B0+B1Q1+B2Q2+...+BMQM notwendig¬  wobeé diå Koeffizienteî BI– wiederuí einå Funktioî voî Í unä voí Tyð deò Orthogonalfunktioî sind. .pa ŠDaó Programí erm|glichô nuî folgendå Modi:    ® Berechnunç deò AI    ® Berechnunç deò BI    ® Berechnunç Y=QN(X)    ® Graphischå Darstellunç deó Verlaufó voî Y(X© f}ò eine      vorgegebenå Anzahì voî N. Beé deî Laguerre- unä Hermite-Polynomen m}sseî daf}ò au~erdeí diå Grenzeî f}ò Ø unä Ù eingegebeî werden. F}ò  diå Berechnunç deò Y-Wertå wirä beé deî letzteî beideî  Modé diå iterativå Berechnunç deò Polynomå genutzt® Siå lauteô allgemein: ‰‰Q0  =A ‰‰Q1  =B(X) ‰‰QN+1=F(QN(X))+G(QN-1(X)© . Bedienung --------- ® Einleseî deó Programmó miô CLOAÄ "ORTHOFU" ® RUN ® Entscheidunç }beò Polynomtyp      Tschebyscheff-Legendre-Laguerre-Hermite ® Entscheidunç }beò Modus     1® Y =QN(X)     2® Ñ ½   AMXM+T     3® Ø ½   BMQM     4® Kurvendarstellung zõ 1. -----    Eingabå voî Î unä X¬ Anzeigå Y    Beé Ø nuò "ENTER¢, R}ckkehò zuò Polynomentscheidung zõ 2® unä 3. ------------   Eingabå N¬  Anzeigå deò AM– bzw®  BM¬ automatischå R}ckkehò zuò    Polynomentscheidung zõ 4. -----    Eingabå deò Ordnungeî voî Á bió B    Eingabå deò Grenzeî f}ò X­ unä Y-Werte    Aí  Plot-endå durcè Bet{tigeî eineò beliebigeî Tastå  R}ckkehò    zuò Polynomentscheidung. Probleme -------- F}ò  Laguerre- unä Hermite-Polynomå existiereî iî  deò  Literatuò keinå Formelî f}ò diå Koeffizienteî gem{~ 1 ‰ XN= -­    ANQN , ‰ 2N deshalâ wirä ií Programí "existierô nicht¢ angezeigt! .pa Š.heAPPROXIMATION #  Beispiele 4® Beispielå (miô alleî Ein­ unä Ausgaben) 1® APROFÕ        --------- Funktionº F(X)=X^2-X Intervallº ° bió 10 maximalå Ordnungº 4 Tschebyscheff-Koeffizienten: ‰° º 32.5 ‰± º 45 ‰² º 12.5 ‰³ º -8.13802E-06 ‰´ º -9.66390E-06 Potenzreihå bió zuò Potenzº 3 Koeffizienteî deò Potenzreihe: ‰° º  1.53860E-05 ‰± º -1.00002 ‰² º  1 ‰³ º -2.60417E-07 max® abs® Fehlerº ca® 9.66390E-06 2® APROTA --------- Eingabå deò Ordnungº 6 Eingabå deò Koeffizienten: ‰° º 1 ‰± º 1 ‰² º 1 ‰³ º 1 ‰´ º 1 ‰µ º 1 ‰¶ º 1 Intervall: 0 bis 0.3 geforderteò max® Fehlerº 0.001 Parameteò deó |konomisierteî Polynoms: ­ Polynomordnungº 3 ­ Koeffizientenº  0.999875                    1.012900                    0.798115                    1.945940 ­ Fehlerº 1.43609E-04 3® RAPROFU ---------- Funktionº F(X)=SIN(X) Intervallº ± bió 3 max® Ordnungº 4 Koeffizienten:        Z{hleò        Nenner     0º  0.2409µ    0º 12.3721     1º 12.196·     1º -3.24069     2º -3.9102±    2º  1 Bezugsfehlerº 4.10974E-04 Fehlerbereichº -4.11347E-0´ ¼ Á ¼ 4.15027E-04 .pa Š4® APROFI --------- Eingabå deò Zeileî 2° bió 2µ unä 3° bió 3³ (siehå Abschnitô 3.) Intervallº ´ bió 6 max® Ordnungº 3 Tschebyscheff-Koeffizienten: ‰0º  1.707460 ‰1º  0.174868 ‰2º -6.5946E-03 ‰3º  2.36313E-04 Potenzreihå bió zuò Potenzº 2 Koeffizientenº 0º  0.509986                1º  0.30676                2º -0.0131892 max® abs® Fehlerº ca® 2.36313E-04 5® RAPROFI ---------- Eingabå deò Zeileî 2° bió 2µ unä 3° bió 3³ (siehå Abschnitô 3.) Intervallº 0.µ bió 1.5 max® Ordnungº 4 Koeffizientenº        Z{hleò        Nenner     0º  2.8881¸    0º -0.125607     1º -3.1335´    1º  0.741631     2º  2.2880·    2º  1 Bezugsfehlerº 2.68102E-03 Fehlerbereichº -1.47128E-0³ ¼ Á ¼ 2.68102E-03 6® LEAPRO --------- Funktionº F(X)=EXP(-X/2) Intervallº ± bió 15 Legendre-Koeffizienten: ‰ 0º  0.0865682 ‰ 1º -0.185977 ‰ 2º  0.167159 ‰ 3º -0.0996291 ‰ 4º  0.446973 ‰ 5º -0.0160825 ‰ 6º  4.82726E-03 ‰ 7º -1.24192E-03 ‰ 8º  2.79228E-04 ‰ 9º -5.54609E-05 ‰10º  9.54609E-06 ‰11º -1.11407E-06 ‰12º -3.19437E-07 ‰13º  6.22553E-07 ‰14º -7.60233E-07 ‰15º  8.41208E-07 Potenzreihå bió zuò Potenzº 4 .pa ŠKoeffizienten: ‰0º  0.875468 ‰1º -0.338585 ‰2º  0.0503993 ‰3º -3.33242E-03 ‰4º  8.14455E-05 max® abs® Fehlerº ca® 0.0160825 7® LAPRO -------­ Funktionº F(X)=EXP(-X) miô exponentiellem Anteilº (1) unterå Grenzeº 0.5 Laguerre-Koeffizienten: ‰ 0º  0.303266 ‰ 1º  1.93268E-08 ‰ 2º -0.113725 ‰ 3º -0.138997 ‰ 4º -0.125571 ‰ 5º -0.0975136 ‰ 6º -0.665697 ‰ 7º -0.375895 ‰ 8º -0.127366 ‰ 9º  7.41307E-03 ‰10º  0.229775 ‰11º  0.034375 ‰12º  0.0421329 ‰13º  0.0467942 ‰14º  0.0488761 Potenzreihå bió zuò Potenzº 4 Koeffizienten: ‰ 0º -0.0750266 ‰ 1º  1.14672 ‰ 2º -0.64207 ‰ 3º  0.10688 ‰ 4º -5.23212E-03 Fehlerwertº 0.01,Grenzeî ² bis10 realå Fehlergrenzenº -5.31455E-0³ ¼ Á ¼ 0.0387235 .pa Š8® HEAPRO --------- Funktionº F(X)=EXP(-2*X*X)-X miô quadratisch exponentiellem Anteilº (1) Hermite-Koeffizienten: ‰ 0º  0.577337 ‰ 1º -0.5 ‰ 2º -0.096196 ‰ 3º -3.51257E-08 ‰ 4º  8.00513E-03 ‰ 5º -1.38933E-09 ‰ 6º -4.42434E-04 ‰ 7º  5.34223E-10 ‰ 8º  1.81393E-05 ‰ 9º -4.06932E-11 ‰10º -5.77659E-07 ‰11º  1.70360E-12 ‰12º  1.41659E-08 ‰13º -3.73469E-14 ‰14º -2.32426E-10 ‰15º -1.04395E-16 Potenzreihå bió zuò Potenzº 4 Koeffizienten: ‰ 0º  0.865791 ‰ 1º -0.999999 ‰ 2º -0.76903 ‰ 3º -2.81006E-07 ‰ 4º  0.128082 Fehlerwertº 0.005¬ Grenzeî ± bió 10 realå Fehlergrenzenº -0.0242415E-0³ ¼ Á ¼ 0.0329281 9® ORTHOFU ---------- Polynomtypº (1© Tschebyscheff-Polynom Zusammenhangº (2© QN ½   AMXM Eingabå voî Nº 3 Á  bzw®  º X^3º  4             X^1º -3 .pa Š.heAPPROXIMATION # Literatur 5® Literatur /1¯  Abramowitz¬ M® u® Stegun¬ I.A.      Handbooë oæ Mathematicaì Functions      Doveò Publicatioî Inc® Ne÷ York /2¯  Beresin¬ I.S® u® Shidkow¬ N.P.      Numerischå Methodeî 1      VE Deutscheò Verlaç deò Wissenschaften¬ Berliî 1970    /3¯  Dreszer¬ J.      Mathematik-Handbucè f}ò Technië unä Naturwissenschaften      VE Fachbuchverlaç Leipziç 197µ (poln® Originalº Poradnik      inzyniera® Matematyka¬ Wydawnictwá Naukowo-Techniczne,      Warszawá 1971) /4¯  Fike¬ C.T.      Computeò evaluatioî oæ mathematicaì functions      Prenticå Halì Englewooä Cliffó 1968 /5¯  Hart¬ J.F® u.a.      Computeò Approximations      Johî Wiley¬ Ne÷ Yorë-Londoî-Sydneù 1968 /6¯  Hastings¬ C.      Approximationó foò digitaì computers      Princetoî Universitù 1955 /7¯  Lyusternik¬ L® A® u.a®               Handbooë foò Computinç elementarù functions      Pergamoí Presó Oxford u.a® 1963 /8¯  Rice¬ J.R.      Thå Approximatioî oæ Functions      Addison-Wesleù Readinç u.a® 1964 /9¯  Sieber¬ N® u® Sebastian¬ H.-J.      Speziellå Funktionen      B® G® Teubner¬ Leipziç 1977 /10¯ Werner¬ H.      Vorlesungeî }beò Approximationstheorie      Springer-Verlaç, Berliî-Heidelberç-Ne÷ Yorë 1966 .pa Š